Bài tập cuối chương 4

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Buddy

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Cách 1.

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^o}\) hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay \(\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o}\).

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay \(\widehat {AEF} = {90^o}\)

Ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat {A{\rm{D}}E} + \widehat {AFE} + \widehat {DEF} = {360^o}\)

90°+90°+90o\( + \widehat {DEF}\) = 360o
270°+ \(\widehat {DEF}\)=360°

Suy ra \(\widehat {DEF}\)=360°−270°=90o

Tứ giác ADEF có \(\widehat {BAC} = {90^o};\widehat {A{\rm{D}}E} = {90^o};\widehat {AEF} = {90^o};\widehat {DEF} = {90^{^o}}\)

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Cách 2.

a) Tam giác ABC vuông tại A, AE là tiếp tuyến (gt)

=> \(AE = \frac{1}{2}BC\) (1)

D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC (gt)

=> \(DF = \frac{1}{2}BC\) (2)

Từ (1) và (2) => AE = DF.

b) DF là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

=> DF // BE (DF //BC) và DF = BE (DF = \(\frac{1}{2}\)BC = BE).

=> Tứ giác BDFE là hình bình hành => DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

I là trung điểm của DE (gt) => I là trung điểm của BF => B, I, F thẳng hàng.


Các câu hỏi tương tự
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết
Buddy
Xem chi tiết