Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM.Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. CMR:

a) BD // CE

b) DE = BD+CE

Answer 1

Do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = MB = MC.
\(\Delta FBM=\Delta FAM\) nên \(\widehat{BMF}=\widehat{FMA}\).
Suy ra: \(\Delta BDM=\Delta ADM\) suy ra: BD = DA.
Chứng minh tương tự AE = EC.
Do BD = DA nên tam giác DBA cân tại D vì vậy \(\widehat{DBA}=\widehat{DAB}\).
Do AE = EC nên tam giác AEC cân tại E vì vậy \(\widehat{CAE}=\widehat{ACE}\).
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\).
Ta có: \(\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=\widehat{DBA}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{ECA}\)
\(=\left(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}\right)+\left(\widehat{DBA}+\widehat{EAC}\right)\)
\(=90^o+\left(\widehat{DAB}+\widehat{EAC}\right)\)
\(=90^o+90^o=180^o\).
Mà hai góc DBC và ECB là hai góc trong cùng phía.
Suy ra BD // CE.
b) DE = AD + AE = BD + CE.