Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ phân giác AD của tam giác CHA và đường phân giác BK của tg ABC (D \(\in\)BC, K\(\in\) AC) . Gọi E và F theo thứ tự là giao điểm của BK với AH và AD. Chứng minh rằng: a) tgAHB ~ tg CHA ; tg AEF ~ tg BEH .
b) Chứng minh KD // AH.
c) Chứng minh EH/ AB= KD /BC .
a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA};\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AHB\) ~ \(\Delta CHA\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)
mà \(\widehat{EBH}=\frac{1}{2}\widehat{ABH};\widehat{EAF}=\frac{1}{2}\widehat{CAH}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBH}=\widehat{EAF}\)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có :
\(\widehat{EBH}=\widehat{EAF}\) ; \(\widehat{BEH}=\widehat{AEF}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AHB\) ~ \(\Delta CHA\)
b) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có :
\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o;\widehat{ABC}:chung\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AHB\) ~ \(\Delta CAB\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{CB}=\frac{AH}{AC}\left(1\right)\)
Vì BK là phân giác \(\widehat{ABC}\Rightarrow\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}\left(2\right)\)
Vì AD là phân giác \(\widehat{CHA}\Rightarrow\frac{HD}{DC}=\frac{AH}{AC}\left(3\right)\)
Từ (1) ; (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{KC}=\frac{HD}{DC}\Rightarrow DK//AH\)
c) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CBK\) có :
\(\widehat{ABE}=\widehat{CBK};\widehat{BAE}=\widehat{BCA}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABE\) ~ \(\Delta CBK\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{CB}=\frac{BE}{BK}\left(4\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) có KD // EH
\(\Rightarrow\) \(\frac{EH}{KD}=\frac{BE}{BK}\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\) \(\frac{AB}{CB}=\frac{EH}{KD}\Leftrightarrow\frac{EH}{AB}=\frac{KD}{CB}\)
ADE ∽