Lời giải:
a) Theo giả thiết đề bài, giả sử đường cao $AH$ chia cạnh huyền theo tỷ lệ $HB:HC=9:4$
Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$
$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}$
$\Rightarrow BA^2=BH.BC$
Tương tự: $CA^2=CH.CB$
$\Rightarrow (\frac{BA}{CA})^2=\frac{BH}{CH}=\frac{9}{4}$
$\Rightarrow \frac{BA}{CA}=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}$
Vậy đường phân giác $AD$ chia cạnh huyền theo tỷ lệ $3:2$
b)
Đặt $AB=3a; AC=2a$ (ĐK: $a>0$)
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{(3a)^2}+\frac{1}{(2a)^2}$
$\Rightarrow a=\sqrt{13}$ (cm)
$\Rightarrow AB=3\sqrt{13}; AC=2\sqrt{13}$ (cm)
