a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=6^2-3^2=27\)
hay \(AC=3\sqrt{3}cm\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\sin\widehat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
hay \(\widehat{B}=60^0\)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
⇒\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Rightarrow\widehat{C}+60^0=90^0\)
hay \(\widehat{C}=30^0\)
Vậy: \(AC=3\sqrt{3}cm\); \(\widehat{B}=60^0\); \(\widehat{C}=30^0\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot6=3\cdot3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\)
hay \(AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm\)
Vậy: \(AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm\)
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{HFA}=90^0\)(HF⊥AC)
\(\widehat{HEA}=90^0\)(HE⊥AB)
Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒EF=AH(hai đường chéo của hình chữ nhật AEHF)(đpcm)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(EA\cdot EB=HE^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(FA\cdot FC=HF^2\)(2)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔHFE vuông tại H, ta được:
\(FE^2=HF^2+HE^2\)(3)
Thay (1), (2) vào (3), ta được:
\(FE^2=EA\cdot EB+FA\cdot FC\)
mà FE=AH(cmt)
và \(AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm\)(cmt)
nên \(EA\cdot EB+FA\cdot FC=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{27}{4}cm\)
Vậy: \(EA\cdot EB+FA\cdot FC=\frac{27}{4}cm\)
