Lời giải:
Ký hiệu độ dài của $BC=a, BH=b, CH=c$ $(a,b,c>0$)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} S_{AHB}=\frac{ab}{2}=54\\ S_{AHC}=\frac{ac}{2}=96\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=108\\ ac=192\end{matrix}\right.(1)\)
\(BC=BH+CH=b+c\Rightarrow BC^2=(b+c)^2(2)\)
Mặt khác, theo định lý Pitago cho các tam giác vuông:
\(BC^2=AB^2+AC^2=AH^2+BH^2+AH^2+CH^2=2a^2+b^2+c^2(3)\)
Từ \((2);(3)\Rightarrow (b+c)^2=2a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2=bc\)
Từ (1): \(ab.ac=a^2.bc=108.192\)
\(\Leftrightarrow a^2.a^2=108.192\Rightarrow a=12\) (cm)
\(b=\frac{108}{a}=\frac{108}{12}=9; c=\frac{192}{a}=\frac{192}{12}=16\)
Vậy:
\(AB=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15\) (cm)
\(AC=\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\) (cm)
\(BC=b+c=9+16=25\) (cm)
