Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Vẽ HD vuông góc với AB tại D , HE vuông góc với AC tại E.

a, Cho biết AB = 8cm, BC = 10cm. Tính độ dài các đoạn AH,HB,HC

b, Chứng minh: \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AH^2}{BH^2}\)

c, Chứng minh: AH³=BD.CE.BC

Answer 1

a,Áp dụng htl trong ΔABC có:

AB²=BH x BC⇒tính đc BH

BC=BH+HC⇒tính đc HC

htl có AH²=BH x CH⇒tính đc AH

b,Áp dụng htl trong ΔBHA có:

AH²=AD x AB

BH²=BD x AB

chia hai vế⇒đccm

c,Áp dụng htl trong ΔABC có:

AH x BC=AB x AC,AH²=BH x BC⇒AH⁴=BH² x CH²(1)

htl trong ΔBHA có:

BH²=BD xAB(2)

htl trong ΔAHC có:

HC²=CE x AC(3)

nhân 2 vế (2) và (3) ta đc:

BH² x HC²=BD x CE x AB x AC

từ (1)⇒AH⁴=BD x CE x BC x AH

⇒BD x CE x BC=AH⁴/AH=AH³

Answer 2

a) Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta vuôngABC\), ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2\)\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh vào \(\Delta vuôngABC\), ta có:

\(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh học vuông và hình chiếu vào \(\Delta vuôngABC\), ta có:

\(AB^2=BC.HB\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta vuôngABC\), ta có:

 \(HB+HC=BC\Rightarrow HC=BC-HB=10-6,4=3,6\left(cm\right)\)

b) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=AB.AD\\BH^2=AB.BD\end{matrix}\right.\) (Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc \(\perp\) và hình chiếu)

\(\Rightarrow\dfrac{AH^2}{BH^2}=\dfrac{AB.AD}{AB.BD}\)\(=\dfrac{AD}{BD}\)\(\left(đpcm\right)\)

c) Xét \(\Delta vuôngBHA\), ta có:

\(BH^2=DB.AB\) (Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu)

Xét \(\Delta vuôngAHC\), ta có:

\(CH^2=EC.AC\) (Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu)

Áp dụng hệ thức liên quan tới đường cao vào \(\Delta vuôngABC\), ta có:

\(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH^4=BH^2.CH^2=DB.AB.EC.AC\)

Mặt khác \(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH^4=BC.AH.DB.EC\Rightarrow AH^3=BC.DB.EC\left(đpcm\right)\)