Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường p/g( của góc ABC). Kẻ DE⊥BC tại E. C/minh rằng đường thẳng BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE.

Answer 1

a) Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

BD chung

ˆABD=ˆEBDABD^=EBD^(BD là tia phân giác của ˆABEABE^)

Do đó: ΔABD=ΔEBD(cạnh huyền-góc nhọn)

⇔DA=DE(hai cạnh tương ứng)

nên D nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: ΔABD=ΔEBD(cmt)

⇒BA=BE(hai cạnh tương ứng)

nên B nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE(đpcm)

Xét ΔDEC vuông tại E có DC là cạnh đối diện với ˆDEC=900DEC^=900

nên DC là cạnh huyền của ΔDEC vuông tại E

⇔DC là cạnh lớn nhất trong ΔDEC(Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

hay DE<DC(3)

mà DA=DE(cmt)(4)

nên từ (3) và (4) suy ra AD<DC

Answer 2

Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))

Do đó: ΔABD=ΔEBD(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AB=EB(hai cạnh tương ứng) và AD=ED(Hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA=BE(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: DA=DE(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của AE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE(Đpcm)