Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, có M là trung điểm BC, D là điểm đối xứng với A qua M, E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC.

a, C/m AC=BD.

b, Tứ giác BCDE là hình gì?

c, Gọi H là giao điểm AE và BC. Vẽ tia Ax song song HD và cắt BC tại I.

C/m DI=EH

Answer 1

Lời giải:

a)

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AD$

Xét tứ giác $BDCA$ có 2 đường chéo $BC, AD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nen $BDCA$ là hình bình hành.

Do đó: $BD=AC$

b)

Gọi $H$ là giao điểm của $AE$ và $BC$. Do tính đối xứng nên $H$ là trung điểm của $AE$

Ta thấy: \(\frac{AH}{HE}=\frac{AM}{MD}(=1)\Rightarrow HM\parallel ED\) (định lý Ta-let)

\(\Rightarrow ED\parallel BC\) nên $BCDE$ là hình thang.

Từ phần a ta chứng minh được $BDCA$ là hình bình hành nên \(\widehat{DCB}=\widehat{HBA}(1)\) (so le trong)

Xét tam giác $BHE$ và $BHA$ có:

\(BH\) chung

\(\widehat{BHE}=\widehat{BHA}=90^0\) (do tính đối xứng qua đường thẳng)

\(HA=HE\)

\(\Rightarrow \triangle BHE=\triangle BHA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{ABH}(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(\widehat{EBH}=\widehat{DCB}\), do đó $BCDE$ là hình thang cân.

Answer 2

c)

Xét tam giác $HMD$ và $IMA$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{HMD}=\widehat{IMA}(\text{đối đỉnh})\\ \widehat{MHD}=\widehat{MIA}(\text{so le trong})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle HMD\sim \triangle IMA(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{HM}{IM}=\frac{MD}{MA}=1\Rightarrow HM=IM\) hay $M$ là trung điểm của $HI$

Xét tứ giác $HDIA$ có hai đường chéo $HI, DA$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường, do đó $HDIA$ là hình bình hành

\(\Rightarrow DI\parallel HA; DI=HA\)

Mà \(HE=HA\), và $H,E,A$ thẳng hàng nên \(HE=DI, HE\parallel DI \)

\(\Rightarrow HEDI\) là hình bình hành

\(\Rightarrow DI=EH\) (đpcm)