Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=15cm, AC=20cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
a. Tính BC ?
b. Chứng minh: Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC. Suy ra độ dài AH.
c. Chứng minh: AH2=HB.HC
d. Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh: AM.AB = AN.AC. Suy ra tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC.
a)
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2=15^2+20^2=625\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)
b)
- Xét tam giác ABC và tam giác HBA, ta có:
Góc BAC= góc BHA = 90o
Góc B chung
=> Tam giác ABC \(\sim\) tam giác HBA ( g-g)
=> ( đpcm)
- Ta có tam giác ABC \(\sim\) tam giác HBA ( cmt):
\(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HA}{AC}=HA=\dfrac{BA.AC}{BC}=\dfrac{15.20}{25}=12\left(cm\right)\)
c)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC:\)
Góc AHC = góc BAC = 90o
Góc C chung
=> \(\Delta ABC\) \(\sim\)\(\Delta HAC\left(g-g\right)\)
Mà \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\) ( ở câu b)
\(\Rightarrow\Delta HAC\sim\Delta HBA\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC}{AH}\Rightarrow AH^2=HB.HC\left(đpcm\right)\)
Tiếp câu d luôn nè .
Xét \(\Delta MAH\) và \(\Delta HAB\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMH}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\\\widehat{A}:chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MAH\sim\Delta HAB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MA}{HA}=\dfrac{AH}{AB}\)
\(\Rightarrow AH^2=AM.AB\left(1\right)\)
Xét \(\Delta NAH\) và \(\Delta HAC\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ANH}=\widehat{AHC}\\\widehat{A}:chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta NAH\sim\Delta HAC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{NA}{HA}=\dfrac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow AH^2=AN.AC\left(2\right)\)
Từ 1 và 2
\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) ta có :
\(\widehat{A}\) chung
\(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
