Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm, đường cao AH (H ∈ BC). Tia phân giác của góc ABC cắ AH tại I và cắt AC tại K

a) Tính độ dài BC, AK, KC

b) Chứng minh ΔABC đồng dạng với ΔHBI

c) Chứng minh ΔAIK cân

d) Chứng minh : AB.KC=BC.AI

Answer 1

a.

Tam giác ABC vuông tại A

=> BC² = AC² + AB²

=> BC² = 12² + 5²

=> BC = 13 ( cm)

Ta có BK là phân giác của góc ABC

=> \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{13}\Rightarrow\dfrac{KA}{5}=\dfrac{KC}{13}=\dfrac{12}{5+13}=\dfrac{2}{3}\)

=> \(\dfrac{KA}{5}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KA=\dfrac{10}{3}\)

\(\dfrac{KC}{13}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KC=\dfrac{26}{3}\)

b. Đề sai -.-

c.

Xét tam giác ABK và tam giác HBI có:

góc A = H = 90^o

góc ABK = HBI ( gt)

Do đó: tam giác ABK~HBI

=> AKB = HIB

mà HIB = AIK ( đối đỉnh)

Suy ra: góc AKB = AIK

Do đó: tam giác AIK cân tại A

d.

Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

góc A = H = 90^o

góc B chung

Do đó : tam giác ABC~HBA

=> \(\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}\) (1)

Ta có AK là phân giác của góc ABC

=> \(\dfrac{KC}{AK}=\dfrac{BC}{AB}\) (2)

Ta lại có: AI là phân giác của góc ABC

=> \(\dfrac{AI}{IH}=\dfrac{AB}{BH}\) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra:

\(\dfrac{KC}{AK}=\dfrac{AI}{IH}=\dfrac{BC}{AB}\)

=> \(\dfrac{KC}{AI}=\dfrac{BC}{AB}\)

=> KC.AB = AI.BC

Answer 2

a, Áp dụng định lý Pytago vào ΔABC vuông tại A

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=5^2+12^2\)

\(BC^2=74\)

\(BC=\sqrt{74}\left(cm\right)\)

Vì BK là phân giác của \(\widehat{ABC}\) trong ΔABC

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AK}{KC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{\sqrt{74}}=\dfrac{AK}{KC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5+\sqrt{74}}{\sqrt{74}}=\dfrac{AK+KC}{KC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5+\sqrt{74}}{\sqrt{74}}=\dfrac{AC}{KC}=\dfrac{12}{KC}\)

\(\Rightarrow5KC+\sqrt{74}KC=12\sqrt{74}\)

\(\Rightarrow\left(5+\sqrt{74}\right).KC=12\sqrt{74}\)

\(\Rightarrow KC\sim7,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AK=12-7,6=4,4\left(cm\right)\)

b,Sưả đề : C/M : ΔABC ∼ ΔHBA

Xét ΔABC và ΔHBA ,có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^0\)

\(\widehat{B}\) : góc chung

⇒ ΔABC ∼ ΔHBA ( gg )

ΔABK ∼ ΔHBI ( gg ) ( bn tự c/m nha )

⇒ \(\widehat{AKI}=\widehat{HIB}\)

mà \(\widehat{HIB}=\widehat{AIK}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AKI}\)

⇒ ΔAIK cân tại A

d, Xét ΔABI và ΔCBK ,có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{CBK}\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{C}\left(\Delta HBA\sim\text{Δ}ABC\right)\)

⇒ ΔABI ∼ ΔCBK(gg)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AI}{CK}\)

⇒ AB.KC = BC.AI

Answer 3

sửa lại câu b) Chứng minh tam giác ABK đồng dạng với tam giác HBI