a) Xét tứ giác ANHM, ta có
\(\widehat{MAN}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^o\) (gt)
=> AMHN là hình chữ nhật
b)
Xét tam giác AEH, ta có:
AM là đg trung tuyến( M là trung điểm EH)
AM là đcao(AM vuông góc với EH)
=> tam giác AEH cân tại A
Mà AM là đg trung tuyến(M là trung điểm EH)
Nên AM là đg phân giác
=> \(\widehat{EAH}=\widehat{MAH}\) (1)
Xét tam giác HAE ta có:
AN là đcao(AN vuông góc với FH)
AN là đg trung tuyến ( N là trung điểm HF)
=> tam giác AHE cân tại A
Mà AN là đg trung tuyến ( N là trung điểm HF)
Nên AN là đg phân giác
=> \(\widehat{NAH}=\widehat{NAF}\) (2)
Từ (1) và (2)
=> \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}=90^o=\widehat{EAM}+\widehat{NAF}\)
=> \(\widehat{HAM}+\widehat{HAN}+\widehat{EAM}+\widehat{NAF}=90^o+90^o=180^o\)
=> E,A,F thẳng hàng
Ta có:
AE=AH(tam giác AEH cân tại A)
AF=AH(tam giác HAF cân tại A)
=> AE=AF
=> E là trung điểm EF
=> E đối xứng với F qua A
c)
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có
AI là đg trung tuyến(I là trung điểm BC)
=> AI=\(\dfrac{1}{2}BC\)
Mà IC=\(\dfrac{1}{2}BC\) (I là trung điểm BC)
Nên AI=IC
=> tam giác IAC cân tại I
Ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ANM}=\widehat{NMH}\\\widehat{NMH}=\widehat{AHM}\end{matrix}\right.\)
=> \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}\) (1)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHM}+\widehat{MAH}=90^o\left(gt\right)\\\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\widehat{ANM}=\widehat{ABH}\) (2)
Từ (1) và (2)
=> \(\widehat{AHM}=\widehat{ABH}\)
Mà \(\widehat{ABH}+\widehat{ACH}=90^o\left(gt\right)\)
\(\widehat{ACH}=\widehat{IAC}\) (tam giác IAC cân tại I)
Nên \(\widehat{AHM}+\widehat{IAC}=90^o\left(gt\right)\)
Mà \(\widehat{AHM}=\widehat{ANM}\left(cmt\right)\)
Nên \(\widehat{AHM}+\widehat{ANM}=90^o\left(gt\right)\)
=> AI vuông góc với MN
