a) Tứ giác AMIN có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\\\widehat{M}=90^o\left(gt\right)\\\widehat{N}=90^o\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) AMIN là hình chữ nhật.
b) AMIN là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) IN // AM.
Ta có: IN // AB (IN // AM, M \(\in\) AB)
IB = IC (gt)
\(\Rightarrow\) NA = NC
mà NI = ND (D đối xứng với I qua N)
\(\Rightarrow\) ADCI là hình bình hành.
lại có: AC \(\perp\) DI (AC \(\perp\) IN, N \(\in\) DI)
\(\Rightarrow\) ADCI là hình thoi.
c) Gọi giao điểm AI và BK là O.
\(\Delta ONI\) và \(\Delta KND\) có:
\(\widehat{I_1}=\widehat{D_1}\) (hai góc so le trong, AI // DC vì ADCI là hình thoi)
NI = ND (gt)
\(\widehat{N_1}=\widehat{N_2}\) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \(\Delta ONI\) = \(\Delta KND\) (g.c.g)
\(\Rightarrow\) OI = DK (hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}NA=NC\left(gt\right)\\IB=IC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) O là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) \(OI=\dfrac{1}{2}AI\)
mà OI = DK (cmt), AI = DC (ADCI là hình thoi)
\(\Rightarrow\) \(DK=\dfrac{1}{3}DC\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm).
