Question

cho tam giác ABC vuông tại A, AB=8cm. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc tại G. Tính AC, BC

Answer 1

Ta có các đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G⇒G là trọng tâm của △ABC⇒\(\dfrac{GB}{BN}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow GB=\dfrac{2.BN}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong △ABN vuông tại A đường cao AG

⇒AB²=BG.BN=\(\dfrac{2}{3}.BN.BN=\dfrac{2}{3}.BN^2\Rightarrow BN^2=AB^2\div\dfrac{2}{3}=64.\dfrac{3}{2}=96\Rightarrow BN=4\sqrt{6}\left(cm\right)\)Áp dụng định lý pi-ta-go trong △ABN vuông tại A⇒BN²=AB²+AN²⇒\(AN^2=BN^2-AB^2=96-64=32\Rightarrow AN=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Ta có NC=AN=\(\dfrac{AC}{2}\Rightarrow AC=AN.2=4\sqrt{2}.2=8\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý pi-ta-go trong △ABC vuông tại A⇒BC²=AB²+AC²=64+128=192⇒BC=\(8\sqrt{3}\left(cm\right)\)