Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) đường cao AH . Trên nưa r mặt phẳng bờ là dường thẳng BC có chứa điểm A , vẽ hình vuông AHKI . Gọi F là giao điểm của AC và KI . Đường thẳng qua F và song song với AB cắt đường thẳng qua B và song song với AC tại E
a ) Cho AH =2cm . Tính diện tích hình vuông AHKI
b ) Chứng minh : ABEF là hình vuông
c ) CM : HI//EK
d ) CM : 3 đường thẳng AE , BF , HI đồng qui
a) \(S_{ẠHKI}=AH^2=4\) (cm2).
b) Áp dụng định lý Thales ta có:
\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{HK}{HC}\Leftrightarrow\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{HC}\).
Lại có: \(\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{BA}{AC}\).
Do đó AF = BA. Dễ dàng suy ra được ABEF là hình vuông.
c) Tứ giác FKEB nội tiếp đường tròn đường kính FB nên:
\(\widehat{EKB}=\widehat{EFB}=45^o\) (cùng chắn cung EB).
Mà \(\widehat{IHK}=45^o\) nên HI // EK.
d) Gọi X là giao điểm của BF và AE.
5 điểm F, K, E, B, A cùng thuộc đường tròn đường kính FB mà XF = XE = XA = XB nên XK = XA.
Từ đó X nằm trên đường trung trực của AK hay X nằm trên IH.
Vậy ta có đpcm.
Cách khác:
b) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AIF\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHB}=\widehat{AIF}=90^o\\\widehat{BAH}=\widehat{IAF}\left(=90^o-\widehat{FAH}\right)\\AI=AH\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AIF(g.c.g)\)
\(\Rightarrow AB=AF\).
Do đó tứ giác ABEF là hình vuông.
c) Gọi O là tâm hình vuông ABEF.
Ta có OA = OB = OE = OF.
Xét tam giác AKF vuông tại K có O là trung điểm của BF nên OK = OB = OF.
Từ đó OK = OA = OE hay tam giác AKE vuông tại K.
Lại có tứ giác AHKI là hình chữ nhật nên \(AK\perp HI\Rightarrow\) HI // EK.
c) Ta có OA = OK và HA = HK nên \(OH\perp AK\).
Lại có \(AK\perp HI\Rightarrow\) O, H, I thẳng hàng.
Vậy HI, AE, BF đồng quy tại O.
