Gọi giao điểm của BH và AM là I
Ta có : BAK+KAC= 90( 1)
Trong \(\Delta\)BHA có B+ BAK=90(2)
Từ (1) và (2) suy ra: B=KAC
Xét \(\Delta\)BHA vuông tại H và \(\Delta\) AKC vuông tại K có:
AB=AC ( do abc cân tại A)
B= KAC (c/m trên)
=> \(\Delta\)BHA=\(\Delta\)AKC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)
=> BH=AK ( 2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta\)BMA vuông tại M và \(\Delta\)CMA vuông tại M có:
BA= CA( do \(\Delta\)ABC cân tại A)
MA chung
=> \(\Delta\)BMA = \(\Delta\)CMA ( Cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\)( tương ứng) (1)
và \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)( 2)
Ta có: \(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180\) (kề bù) (3)
Thay ( 2) và (3) ta đc:
\(\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=90\)
Ta lại có : \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=90\) (4)
Thay (1) vào (4) ta đc: \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=45\)
Áp dụng tính chất tổng 3 góc vào \(\Delta\)MAB ta có:
\(\widehat{BAM}+\widehat{MBA}+\widehat{BMA}=180\)
=> 45 + \(\widehat{MBA}\) + 90= 180
=> MBA = 45 (5)
Từ (1) và (5) suy ra : \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
Do đó : \(\Delta\)MAB cân tại M => BM=AM
Trong \(\Delta\)MBI vuông tại M có: \(\widehat{HBM}+\widehat{BIM}=90\)(*)
Trong \(\Delta\)AHI vuông tại H có: \(\widehat{IAH}+\widehat{AIH}=90\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra : \(\widehat{HBM}+\widehat{BIM}=\widehat{IAH}+\widehat{AIH}\)
Mà BIM=AIH ( đối đỉnh)
Suy ra: IAH = HBM hay MAK = HBM
Xét \(\Delta\)MBH và \(\Delta\)MAK có:
BM = BA (c/m trên)
HBM = MAK ( c/m trên)
AK=BH ( c/m trên)
=> \(\Delta\)MBH=\(\Delta\)MAK ( c-g-c)
=> MH=MK( 2 cạnh tương ứng)
