Question

Cho tam giác ABC vuông cân ở A .Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi . Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d ( D , E thuộc d ) . Chứng minh rằng tổng BD^2 + CE^2 có giá trị không đổi .

Answer 1

Xét △ABD có BD ⊥ AD nên vuông tại D

⇒ \(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=90^0\left(1\right)\)

△ACE có CE ⊥ AE nên vuông tại E

⇒ \(\widehat{A_3}+\widehat{C_1}=90^0\left(2\right)\)

\(\widehat{A_2}=90^0\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{A_3}=180-\widehat{A_2}=90^0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)

Mà 2△ vuông ABD và ACE có cạnh huyền AB và AC bằng nhau (△ABC cân)

⇒ AD = CE

\(AD^2+BD^2=AB^2\)

⇔ \(CE^2+BD^2=AB^2\) không đổi