Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM
a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM
b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM
c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM
Giải
a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do
CD=12CB=12CMCD=12CB=12CM
Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.
b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC
Vậy: AC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EIAC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EI
c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD=12AEAD=12AE
Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC.
∆BCP = ∆MCF => BP=FM=12EMBP=FM=12EM. Ta sẽ chứng minh CQ=12AMCQ=12AM
Ta có:
ΔABD=ΔECD⇒ˆBAD=ˆCED⇒AB//EC⇒ˆQAC=ˆICAΔABD=ΔECD⇒BAD^=CED^⇒AB//EC⇒QAC^=ICA^
Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ˆQAC=ˆICAQAC^=ICA^;
AQ=12AB=12EC=ICAQ=12AB=12EC=IC nên chúng bằng nhau.
Vậy CQ=AI=12AMCQ=AI=12AM.
Tóm lại: AD=12AE,BP=12EM,CQ=12AM
