Question

Cho tam giac ABC. Vẽ phía ngoài các tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, AEC có AB = AD, AC = AE. kẻ AH vuông với BC, DM vuông với AH, EN vuông với AH. CMR:

a) DM = EN

b) Gọi O là giao điểm của AN và DE. CMR O là trung điểm của DE.

Answer 1

a)△ABD vuông tại A có AD = AB (gt) ⇒ △ABD vuông cân tại A

⇒ \(\widehat{DAB}\) = 90^o ⇒ \(\widehat{DAM}+\widehat{BAH}\) = 90^o

mà \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}\) = 90⁰ (△ABH vuông tại H)

⇒ \(\widehat{DAM}=\widehat{ABH}\) (cùng phụ \(\widehat{BAH}\))

Xét △DAM vuông tại M và △ABH vuông tại H có :

- AD = AB (gt)

- \(\widehat{DAM}=\widehat{ABH}\) (cmt)

⇒ △DAM = △ABH (ch-gn)

⇒ DM = AH (yttư) (1)

Chứng minh tương tự với △ACE vuông tại A có AC = AE (gt) ta được:

⇒ △ANE = △CHA (ch-gn)

⇒ EN = AH (yttư) (2)

Từ (1) và (2), ta có: ⇒ DM = EN (= AH) (đpcm)

b) Xét △NOE và △MOD có:

- \(\widehat{NOE}=\widehat{DOM}\) (đối đỉnh)

- EN = DM (cmt)

- \(\widehat{ENO}=\widehat{DMO}\) = 90⁰

⇒ △NOE = △MOD (g.c.g)

⇒ EO = DO (yttư)

mà O ∈ DE (gt)

⇒ O là trung điểm DE (đpcm)