Cho tam giác ABC, vẽ điểm M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao chao MA= MD. a) Chứng minh: AB // DC
b) Kẻ BE vuông góc với AM (E thuộc AM), CF vuông góc với DM ( D thuộc DM). Chứng minh : M là trung điểm của EF
c) Trên cạnh AC lấy điểm I, cạnh BD lấy điểm K sao cho AI = DK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng
a) Xét ΔABM và ΔDCM ta có:
AM = MD (GT)
\(\widehat{AMD}=\widehat{CMD}\left(đối-đỉnh\right)\)
BM = CM (GT)
=> ΔABM = ΔDCM (c - g - c)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MDC}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AB // CD
b/ Xét 2 tam giác vuông ΔBEM và ΔCFM ta có:
BM = CM (GT)
\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\left(đối-đỉnh\right)\)
=> ΔBEM = ΔCFM (c.h - g.n)
=> EM = MF (2 cạnh tương ứng)
=> M laf trung điểm của EF
c/ Xét ΔBDM và ΔCAM ta có:
BM = CM (GT)
\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\left(đối-đỉnh\right)\)
AM = DM (GT)
=> ΔBDM = ΔCAM (c - g - c)
=> BD = AC (2 cạnh tương ứng)
Và \(\widehat{BDM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{KDM}=\widehat{IAM}\)
Xét ΔAMI và ΔDMK ta có:
AI = DK (GT)
\(\widehat{KDM}=\widehat{IAM}\left(cmt\right)\)
AM = MD (GT)
=> ΔAMI = ΔDMK (c - g - c)
=> MI = MK (2 cạnh tương ứng)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI+CI=AC\\BK+KD=BD\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=KD\left(GT\right)\\AC=BD\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> CI = BK
Xét ΔBMK và ΔCMI ta có:
BK = CI (cmt)
BM = CM (GT)
KM = MI (cmt)
=> ΔBMK = ΔCMI (c - c - c)
\(\Rightarrow\widehat{BMK}=\widehat{CMI}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{BMI}+\widehat{IMC}=180^0\left(kề-bù\right)\)
Mà: \(\widehat{BMK}=\widehat{CMI}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMI}+\widehat{BMK}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KMI}=180^0\)
=> K, M, I thẳng hàng
BDA = 
