Question

Cho tam giác ABC. Từ điểm E trên cạnh AC, kẻ ED // AB, D \(\in\) BC, kẻ EF // BC (F \(\in\) AB). Biết rằng AE = BF. Chứng minh rằng điểm D cách đều AB và AC.

Answer 1

Ta có: EF // BD (gt)

BF // ED (gt)

Suy ra EF = BD; BF = DE (t/c đoạn chắn)

Trên AB lấy K sao cho AF = BK

\(\Delta AFE\) và \(\Delta KBD\) có:

AF = BK (cách vẽ)

AFE = KBD (đồng vị)

EF = BD (cmt)

Do đó, \(\Delta AFE=\Delta KBD\left(c.g.c\right)\)

=> AE = KD (2 cạnh t/ứ)

= BF = ED (theo gt AE = BF, theo cmt BF = ED)

Kẻ \(DM\perp AB;DN\perp AC\)

\(\Delta\) DMK vuông tại M và \(\Delta\) DNE vuông tại N có:

DK = DE (cmt)

MKD = NED (cùng đồng vị với FAE)

Do đó, \(\Delta DMK=\Delta DNE\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> DM = DN (2 cạnh t/ứ)

=> D cách đều AB và AC (đpcm)