Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BM và CN cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn và xác định vị trí tâm I của đường tròn đó.
b) Gọi D là 1 điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM cắt nhau tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng điểm E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Gọi K là một điểm di động trên nửa đường tròn đường kính BC ( Cung chứa điểm M) và Q là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC. Tìm vị trí điểm K để tổng KQ+ BQ đạt giá trị lớn nhất .
P/s: Đề thi thử vào lớp 10 lần 2 của trường THPT Lương Thế Vinh -- Hà Nội( Năm 2022)
a: góc ANH+góc AMH=180 độ
=>AMHN nội tiếp
b: Tham khảo
Tứ giác MCDE nội tiếp nên góc MED = 180 - C (1).
Tứ giác NBDE nội tiếp nên góc NED = 180 - B (2).
Mà góc MEN = 360 - MED - NED (3).
Thay (1), (2) vào (3) được: góc MEN = 360 - (180 - C) - (180 - B) = B +C = 180 - A.
Suy ra MEN + MAN =180. Vậy tứ giác MENA nội tiếp.
=>E thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔAMN
