Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
hello7156

Cho tam giác ABC. Lấy điểm D cố định trên BC. Đường thẳng d di động song song với BC lần lượt cắt AB,AC tại điểm M,N. C/m diện tích tam giác DNM luôn < hoặc = diện tích tam giác ABC. Dấu bằng xảy ra khi nào?

Nguyễn Hoàng Minh
5 tháng 1 2022 lúc 14:51

Kẻ \(MI\text{//}AC;DH\bot MN\left(H\in MN\right);IK\bot MN\left(K\in MN\right)\)

\(DHKI\) là hcn \(\Rightarrow DH=IK\Rightarrow S_{DMN}=S_{IMN}\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta AMN\sim\Delta ABC\\\Delta BMI\sim\Delta ABC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2\\\dfrac{S_{BMI}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{BM}{AB}\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AMN}+S_{BMI}}{S_{AB}}=\dfrac{AM^2+BM^2}{AB^2}\ge\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(AM+MB\right)^2}{AB^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}-S_{MNCI}}{S_{ABC}}\ge\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow1-\dfrac{S_{MNCI}}{S_{ABC}}\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{S_{MNCI}}{S_{ABC}}\le\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow S_{MNCI}\le\dfrac{1}{2}S_{ABC}\\ \Rightarrow2\cdot S_{DMN}\le\dfrac{1}{2}S_{ABC}\\ \Rightarrow S_{DMN}\le\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow AM=MB\Leftrightarrow M\) là trung điểm \(AB\Leftrightarrow N\) là trung điểm AC

Khi đó d đi qua trung điểm AB và AC


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hiển Bùi
Xem chi tiết
Ánh Tuyết
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
Hoàng Minh
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết