Yêu cầu 1: Gọi \(D\) là chân đường phân giác của \(\widehat{A}\) trong \(\Delta ABC\):
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{DB}{DB+DC}=\frac{2}{2+3}\Leftrightarrow\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow DB=\frac{2}{5}.BC=\frac{2}{5}.10=4cm\)
Ta có: \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat{B}\).
\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{8}{4}=2\)
\(\Rightarrow\frac{IA}{IA+ID}=\frac{2}{2+1}\Leftrightarrow\frac{IA}{AD}=\frac{2}{3}\)
Gọi \(AG\cap BC=\left\{M\right\}\). Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên:
\(\Rightarrow\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\)
Từ trên ta có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\)
Xét \(\Delta ADM\) có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\) nên:
Theo định lí talet đảo ta có: \(IG//DM\) hay \(IG//BC\left(đpcm\right)\)
Yêu cầu 2: Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(\Rightarrow BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
\(\Rightarrow DM=BM-BD=5-4=1cm\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(IG//DM\Rightarrow\frac{IG}{DM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow IG=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}.1=\frac{2}{3}\approx0,67cm\)
Vậy ................