§2. Tích vô hướng của hai vectơ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sách Giáo Khoa

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2\) ?

Bùi Thị Vân
19 tháng 5 2017 lúc 10:01

A B C H M
\(\overrightarrow{MH}=-\overrightarrow{HM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\);
\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
Vì vậy:
\(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right).\dfrac{-1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}\right)\) (Do H là trực tâm tam giác ABC).
\(=\dfrac{1}{4}\left[\overrightarrow{CH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BH}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BC}\right)\) ( do H là trực tâm tam giác ABC).
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}BC^2\).


Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Minh Đào
Xem chi tiết
Minh Đào
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Hương-g Thảo-o
Xem chi tiết
Hoàng trung
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết