Question

 cho tam giác ABC , góc A = 60⁰ . Phân Giác  BD , CE cắt nhau tại O . Chứng mnh rằng : 
a) Tam giác DOE cân                            
b) BE+CD = BC

Answer 1

a) Vẽ OK là tia phân giác của góc BOC

Ta có : \(\angle\) BOC = 180^o - ( \(\angle\)​ OBC + \(\angle\)OCB )

Mà \(\angle\)OBC = \(\frac{1}{2}\). \(\angle\)ABC

\(\angle\)OCB = \(\frac{1}{2}\).\(\angle\)ACB

=> \(\angle\)BOC = 180^o-\(\frac{1}{2}\). (\(\angle\)ABC + \(\angle\) ACB )

Mặt khác , \(\angle\)ABC + \(\angle\)ACB = 180^o - \(\angle\)A = 180 ^o - 60^o = 120^o

=> \(\angle\)BOC = 180^o- \(\frac{1}{2}\). 120^o = 120^o

Ta có : \(\angle\)EOB + \(\angle\)BOC = 180^o ( 2 góc kề bù )

=> \(\angle\)EOB = 180^o - 120^o = 60^o (1)

\(\angle\)DOC + \(\angle\)BOC = 180^o (2 góc kề bù )

=> \(\angle\)DOC = 180^o - 120^o = 60^o (2)

Từ (1) và (2) => \(\angle\)EOB = \(\angle\)DOC (= 60^o) ( 3)

Vì OK là tia phân giác của góc BOC nên \(\angle\)BOK = \(\angle\)COK = \(\frac{1}{2}\). 120^o =

60^o (4)

Từ (3) và (4) => \(\angle\)BOK = \(\angle\) COK = \(\angle\)EOB =\(\angle\)DOC

Xét \(\Delta\)EOB và \(\Delta\) KOB có :

OB : cạnh chung

\(\angle\)EBO = \(\angle\)OBK ( gt)

\(\angle\)EOB = \(\angle\)BOK (cmt)

=> \(\Delta\)EOB = \(\Delta\) KOB(g - c - g)

=> OE = OK ( 2 cạnh tương ứng) (5)

Xét \(\Delta\)DOC và \(\Delta\)KOC có :

OC : cạnh chung

\(\angle\)KCO = \(\angle\)OCD ( gt)

\(\angle\)KOC = \(\angle\)COD ( cmt)

=> \(\Delta\)DOC = \(\Delta\)KOC ( g - c - g)

=> OK = OD( 2 cạnh t/ứng) (6)

Từ (5) và (6) => OD = OE ( = OK)

Xét \(\Delta\)DOE có OD = OE nên \(\Delta\)DOE cân tại O

b)Vì \(\Delta\)EOB = \(\Delta\) KOB (cm câu a)

=> BE = BK ( 2 cạnh t/ứng)

Vì \(\Delta\)DOC = \(\Delta\)KOC ( cm câu a)

=> CD = CK ( 2 cạnh t/ứng )

Ta có : BE = BK (cmt)

CD = CK (cmt)

=> BE + CD = BK + CK = BC ( đpcm)