Question

Cho tam giác ABC, đường cao AH, kẻ HE ⊥ AB tại E, kéo dài HE lấy EM = EH. Kẻ HF ⊥ AC tại F, kéo dài HF lấy FN = FH. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh:

a) AB là trung trực của MH. AC là trung trực của NH

b) Tam giác AMN cân

c) EF song song MN

d) AI ⊥ EF

Answer 1

a) Ta có: EH = EM (gt); AB ⊥ HE (gt).

⇒ AB là đường trực của MH. (đpcm1)

CMTT, ta được: AC là đường trực của NH. (đpcm2)

b) Ta có: AB là đường trực của MH. (cmt)

⇒ AM = AH. (1)

CMTT, ta được: AN = AH. (2)

Từ (1), (2) ⇒ AM = AN.

△AMN có: AM = AN. (cmt)

⇒ △AMN cân tại A. (đpcm)

c) △HMN có: EH = EM (gt); FH = FN (gt).

⇒ EF là đường trung bình của △HMN.

⇒ EF // MN. (đpcm)

d) △AMN cân ở A. (cmt)

⇒ Đường trung truyến AI (IM = IN) cũng là đường cao.

⇒ AI ⊥ MN.

Mà EF // MN. ⇒ AI ⊥EF. (đpcm)

Answer 2