a) Mình sử dụng luôn 3 đường trung tuyến của câu b nha bạn
Vì G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên
\(GA=\frac{2}{3}AM;GB=\frac{2}{3}BN;GC=\frac{2}{3}CP\left(1\right)\)
Vì \(\Delta ABC\) đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau
=> AM = BN = CP (2)
Từ (1), (2) => GA = GB = GC
b) Xét \(\Delta ABC\) có : PA = PB ; NA = NC
\(\Rightarrow\) PN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) PN // BC
Xét \(\Delta ABC\) có : PA = PB ; MB = MC
=> MP là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
=> MP // AC
c) Vì \(\Delta ABC\) đều mà AM là tung tuyến => AM là phân giác
=> \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\frac{60^o}{2}=30^o\)
Có AN = MN => \(\Delta AMN\) cân tại N
=> \(\widehat{NMA}=\widehat{NAM}=30^o\) (1)
Có MP = PA => \(\Delta AMP\) cân tại P
\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{PMA}=\frac{60^o}{2}=30^o\) (2)
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M có MP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB
=> MP = PA = PB
Xét \(\Delta AMC\) vuông tại M có MN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
=> MN = NA = NC
mà NA = CP
=> PM = MN => \(\Delta PMN\) cân tại M (3)
Từ (1) và (2) và (3) => \(\Delta PMN\) đều
