Ta có: ΔADB đều(gt)
⇒\(\widehat{ABD}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔADB đều)
Ta có: \(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\)(=600)
mà \(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{BAC}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên BD//AC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét tứ giác ADBC có BD//AC(cmt)
nên ADBC là hình thang(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang ADBC có
M là trung điểm của cạnh bên AD(gt)
P là trung điểm của cạnh bên BC(gt)
Do đó: MP là đường trung bình của hình thang ADBC(định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒\(MP=\frac{DB+AC}{2}\) và MP//DB(định lí 2 về đường trung bình của hình thang)
mà DB=AB(ΔADB đều)
nên \(MP=\frac{AB+AC}{2}\)(1)
Ta có: ΔACE đều(gt)
⇒\(\widehat{ACE}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔACE đều)
Ta có: \(\widehat{ACE}=\widehat{BAC}\left(=60^0\right)\)
mà \(\widehat{ACE}\) và \(\widehat{BAC}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//EC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét tứ giác ABCE có AB//EC(cmt)
nên ABCE là hình thang(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang ABCE có
P là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AE(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của hình thang ABCE(định nghĩa đường trung bình của hình thang)
⇒\(PN=\frac{AB+EC}{2}\) và PN//EC(định lí 2 về đường trung bình của hình thang)
mà EC=AC(ΔAEC đều)
nên \(PN=\frac{AB+AC}{2}\)(2)
Ta có: ΔADB đều(gt)
⇒\(\widehat{DAB}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔADB đều)
Ta có: ΔAEC đều(gt)
⇒\(\widehat{EAC}=60^0\)(số đo của một góc trong ΔAEC đều)
Ta có: \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{EAC}\)
\(=60^0+60^0+60^0=180^0\)
hay D,A,E thẳng hàng
Ta có: D,A,E thẳng hàng(cmt)
⇒A nằm giữa D và E
hay DA+AE=DE
mà DA=AB(ΔADB đều)
và AE=AC(ΔAEC đều)
nên DE=AB+AC
⇒\(\frac{DE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(3)
Ta có: DE=DA+AE(cmt)
mà \(DA=2\cdot MA\)(M là trung điểm của DA)
và \(AE=2\cdot AN\)(N là trung điểm của AE)
nên \(DE=2\cdot MA+2\cdot AN\)
\(\Leftrightarrow DE=2\cdot\left(MA+AN\right)\)
hay \(MN=\frac{DE}{2}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(MN=\frac{AB+AC}{2}\)(5)
Từ (1), (2) và (5) suy ra MN=MP=PN
Xét ΔMNP có MN=MP=PN(cmt)
nên ΔMNP đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
