a) Xét \(\Delta ABD\) có:
\(BA=BD\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABD\) cân tại \(B.\)
Mà \(\widehat{B}=60^0\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABD\) là tam giác đều.
b) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt).
=> \(AB=AD\) (tính chất tam giác đều).
Xét 2 \(\Delta\) \(ABH\) và \(ADH\) có:
\(AB=AD\left(cmt\right)\)
\(BH=DH\) (vì H là trung điểm của \(BD\))
Cạnh AH chung
=> \(\Delta ABH=\Delta ADH\left(c-c-c\right)\)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\) (2 góc tương ứng).
Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{AHD}=180^0\) (vì 2 góc kề bù).
Mà \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\left(cmt\right)\)
=> \(2.\widehat{AHB}=180^0\)
=> \(\widehat{AHB}=180^0:2\)
=> \(\widehat{AHB}=90^0.\)
=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^0\)
=> \(AH\perp BD.\)
c) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt).
=> \(AB=AD=BD\) (tính chất tam giác đều).
Mà \(AB=2\left(cm\right)\)
=> \(BD=2\left(cm\right).\)
Vì H là trung điểm của \(BD\left(gt\right)\)
=> \(BH=DH=\frac{1}{2}BD\) (tính chất trung điểm).
=> \(BH=DH=\frac{1}{2}.2=\frac{2}{2}=1\left(cm\right).\)
+ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AH^2+1^2=2^2\)
=> \(AH^2=2^2-1^2\)
=> \(AH^2=4-1\)
=> \(AH^2=3\)
=> \(AH=\sqrt{3}\left(cm\right)\) (vì \(AH>0\)).
Ta có: \(BH+CH=BC\)
=> \(1+CH=5\)
=> \(CH=5-1\)
=> \(CH=4\left(cm\right).\)
+ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:
\(AC^2=AH^2+CH^2\) (định lí Py - ta - go).
=> \(AC^2=\left(\sqrt{3}\right)^2+4^2\)
=> \(AC^2=3+16\)
=> \(AC^2=19\)
=> \(AC=\sqrt{19}\left(cm\right)\) (vì \(AC>0\)).
d) Ta có:
\(AB^2+AC^2=2^2+\left(\sqrt{19}\right)^2\)
=> \(AB^2+AC^2=4+19\)
=> \(AB^2+AC^2=23\left(cm\right)\) (1).
Lại có:
\(BC^2=5^2\)
=> \(BC^2=25\left(cm\right)\) (2).
Từ (1) và (2) => \(AB^2+AC^2\ne BC^2\left(23cm\ne25cm\right).\)
=> \(\Delta ABC\) không phải là tam giác vuông.
=> \(\widehat{BAC}< 90^0\) (vì \(23cm< 25cm\)) (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
a) Xét ΔABD có BA=BD(gt)
nên ΔBAD cân tại B(định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔBAD cân tại B(cmt)
mà \(\widehat{ABD}=60^0\)(gt)
nên ΔBAD là tam giác đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
b) Ta có: ΔBAD đều(cmt)
nên ΔBAD cân tại A
Xét ΔAHB và ΔAHD có
AB=AD(do ΔBAD cân tại A)
BH=DH(do H là trung điểm của BD)
AH là cạnh chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHD(c-c-c)
⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHD}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
⇒\(\widehat{AHD}=90^0\)
⇒AH⊥BD(đpcm)
c)Ta có: AB=BD=AD(do ΔABD đều)
mà AB=2cm(gt)
nên BD=2cm
Ta có: H là trung điểm của BD(gt)
nên \(BH=\frac{BD}{2}=\frac{2}{2}=1cm\)
Ta có: BH+HC=BC(do B,H,C thẳng hàng)
hay 1+HC=5
⇒HC=5-1=4cm
Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
hay \(AH^2=AB^2-BH^2=2^2-1^2=3\)
⇒\(AH=\sqrt{3}cm\)
Ta có: AH⊥BD(cmt)
mà C∈DB
nên AH⊥HC
⇒ΔAHC vuông tại H
Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được
\(AC^2=AH^2+HC^2\)
hay \(AC^2=\left(\sqrt{3}\right)^2+4^2=3+16=19\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{19}cm\)
