* Hình bạn tự vẽ
\(a.\) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta NCM\) có :
\(MB=MC\) ( gt )
\(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\) ( hai góc đối đỉnh )
\(AM=MN\)( gt )
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta NCM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow CN=AB\)
và \(\widehat{BAM}=\widehat{MNC}\)
Mà 2 góc này còn ở vị trí so le trong và bằng nhau \(\Rightarrow\)\(CN//AB\)
Vậy \(CN=AB\) và \(CN//AB\)
\(b.\)
Ta có : \(CN//AB\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{NCA}=180^0\)
\(\Rightarrow90^0+\widehat{NCA}=180\)
\(\Rightarrow\widehat{NCA}=90^0\)
Xét \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^0\right)\) và \(\Delta CNA\left(\widehat{CNA}=90^0\right)\) có :
AB = CN ( chứng minh câu a )
AC : cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CNA\left(cgv-cgv\right)\)
\(\Rightarrow BC=NA\)
Mà \(AM=\dfrac{1}{2}AN\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)
Vậy \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)
b) Vì CN // AB
nên \(\widehat{BAC}+\widehat{NCA}=180^o\)
\(\Rightarrow90^o+\widehat{NCA}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NCA}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta CNA\) vuông tại C.
Xét \(\Delta ABC;\Delta CNA\) lần lượt vuông tại A; C:
AC chung
\(AB=CN\left(a\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CNA\left(cgv-cgv\right)\)
\(\Rightarrow BC=NA\)
mà \(AM=\dfrac{1}{2}AN\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC.\)
Xét tứ giác ABCD có: BM=MC;AM=MN
=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mà hình bình hành ABCD có: \(\widehat{A}=90^o\)
=> hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
=> CN=AB và CN//AB.
Ta lại có: BC=AN => \(\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)
Vì \(CN=AB;CN\) // \(AB\)
\(\Rightarrow AN=CB\)
\(AM=\dfrac{1}{2}AN\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\)
Ngắn ngọn , đơn giản , dễ hiểu .
