đầu tiên bạn phải chứng minh bổ đề sau:
Trong 1 tam giác vuông, có 1 góc bằng 30 độ thì cạnh góc vuông đối diện với góc 30độ bằng nửa cạnh huyền "( tự chứng minh) gợi ý là vẽ thếm trung tuyến ứng với cạnh huyền để chứng minh.
Giải:
Kẻ BH ⊥ AC tại H.
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ (cách kẻ)
=> góc ABH + góc BAH = 90độ (phụ nhau) => góc ABH = 90độ - góc BAH = 90độ - 60độ = 30độ => góc ABH = 30độ
Xét tam giác ABH có góc BHA = 90độ và góc ABH = 30độ
=> Theo bổ đề trên ta có: AH = AB/2 => 2AH = AB (1)
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
AB² = BH² + AH²
=> BH² = AB² - AH² (2)
Xét tam giác BHC có góc BHC = 90độ (cách kẻ)
=> Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
BC² = BH² + HC² = BH² + (AC - AH)² = BH² + AC² - 2AH.AC + AH² (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có:
BC² = (AB² - AH²) + AC² - AB.AC + AH²
<=> BC² = AB² - AH² + AC² - AB.AC + AH
<=> BC² = AB² + AC² - AB.AC
Kết luận
kẻ đường cao bh ( h thuộc ac)
xét tam giác bah có góc a =60
suy ra ah=1/2 ab
tám giác bah vuông tại h
suy ra ab^2=ah^2+bh^2 =. bh^2=ab^2-ah^2
tam giác bhc vuông tại h
suy ra bh^2 +hc^2=bc^2
=> bh^2+(ac-ah)^2=bc^2
<=> ab^2-ah^2+ ac^2 -2ah.ac +ah^2=bc^2
<=> ab^2+ac^2-2ah.ac=bc^2 mà ah=1/2ab
=> ab^2+ac^2-ab.ac =bc^2
Dựng \(BH\perp AC\left(H\in AC\right)\)
Xét tam giác HBC vuông tại H; tam giác AHB vuông tại H ta có:
\(BC^2=BH^2+HC^2\) (1)
\(BH^2=AB^2-AH^2\) (2) (áp dụng định lý Pytago)
Thay (2) vào (1) ta có:
\(BC^2=Ab^2-AH^2+HC^2=AB^2+HC^2-AH^2\) (3)
Ta lại có: \(AC^2-AB.AC=AC.\left(AC-AB\right)=\left(AH+HC\right).\left(AH+HC-AB\right)\)(*)
(do \(AC=AH+HC\))
Xét tam giác ABH vuông tại H có \(\widehat{BAH}=60^o\) ta có:
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABH}=30^o\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB\)(theo tính chất trong tam giác vuông cạnh đối diện góc \(30^o\) bằng nửa nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow2AH=AB\)
Thay \(AB=2AH\) vào (*) ta có:
\(AC^2-AB.AC=\left(AH+HC\right).\left(AH+HC-2AH\right)\)
\(=\left(HC+AH\right).\left(HC-AH\right)=HC.\left(HC-AH\right)+AH.\left(HC-AH\right)\)
\(=Hc^2-HC.AH+AH.HC-AH^2=HC^2-AH^2\)
Do đó \(AB^2+AC^2-AB.AC=AB^2+HC^2-AH^2\) (4)
So sánh (3) và (4) suy ra : \(BC^2=AB^2+AC^2-AB.AC\)
Chúc bạn học tốt!!!
