Giải:
Gọi 3 cạnh tương ứng của 3 đường cao \(h_a,h_b,h_c\) là a, b, c \(\left(a,b,c>0\right)\)
Ta có: \(\frac{a.h_a}{2}=\frac{b.h_b}{2}=\frac{c.h_c}{2}\)
\(\Rightarrow a.h_a=b.h_b=c.h_c\)
\(\Rightarrow4a.\frac{h_a}{4}=5b.\frac{h_b}{5}=6c.\frac{h_c}{6}\)
Mà \(\frac{h_a}{4}=\frac{h_b}{5}=\frac{h_c}{6}\)
\(\Rightarrow4a=5b=6c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60\)
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\frac{1}{4}}=60\\\frac{b}{\frac{1}{5}}=60\\\frac{c}{\frac{1}{6}}=60\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=15\\b=12\\c=10\end{matrix}\right.\)
Vậy độ dài 3 cạnh của t/g lần lượt là 15, 12, 10
gọi 3 đường cao ha ; hb;hc lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có:
\(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}\) và a+b+c=37
Áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau ta có
\(\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{6}=\frac{a+b+c}{4+5+6}=\frac{37}{15}\)
=>\(\frac{a}{4}=\frac{37}{15}=>a=\frac{37.4}{15}\)=>a=\(\frac{148}{15}\)
\(\frac{b}{5}=\frac{37}{15}=>b=\frac{37.5}{15}=>b=\frac{37}{3}\)
\(\frac{c}{6}=\frac{37}{15}=>c=\frac{37.6}{15}=>c=\frac{222}{15}\)
Vậy độ dài 3 đường cao của tam giác ABC là \(\frac{148}{15}cm;\frac{37}{3}cm;\frac{222}{15}cm\)
