Vì \(h_a,h_b,h_c\) tỉ lệ thuận với \(4,5,6\) nên ta có:
\(\dfrac{h_a}{4}=\dfrac{h_b}{5}=\dfrac{h_c}{6}\)
Đặt: \(\dfrac{h_a}{4}=\dfrac{h_b}{5}=\dfrac{h_c}{6}=k\\ \Rightarrow h_a=4k;h_b=5k;h_c=6k\)
\(S_{\Delta ABC}=a.h_a=b.h_b=c.h_c\\ hay:S_{\Delta ABC}=a.4k=b.5k=c.6k\\ \Rightarrow\dfrac{a}{5k}=\dfrac{b}{4k};\dfrac{a}{6k}=\dfrac{c}{4k}\\ hay:\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k};\dfrac{a}{30k}=\dfrac{c}{20k}\\ \Rightarrow\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k}=\dfrac{c}{20k}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{30k}=\dfrac{b}{24k}=\dfrac{c}{20k}=\dfrac{a+b+c}{30k+24k+20k}=\dfrac{37}{\left(30+24+20\right)k}=\dfrac{37}{74k}=\dfrac{1}{2}k\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{30k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}k.30k=15k^2\)
\(\dfrac{b}{24k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}k.24k=12k^2\)
\(\dfrac{c}{20k}=\dfrac{1}{2}k\Rightarrow\dfrac{1}{2}k.20k=10k^2\)
Vậy: c là cạnh có độ dài nhỏ nhất với độ dài: 10cm
