Lời giải:
Gọi $G$ là giao điểm của $BD,CE$ thì $G$ chính là trọng tâm tam giác $ABC$
Theo tính chất trọng tâm và trung tuyến:
\(BG=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}.9=6\)
\(CG=\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}.12=8\)
\(\Rightarrow BG^2+CG^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2\)
Do đó theo định lý Pitago (đảo) thì tam giác $BGC$ vuông tại $G$
\(\Rightarrow \widehat{BGC}=90^0\Rightarrow BD\perp CE\)
b)
\(EG=CE-GC=12-8=4\)
\(DG=BD-BG=9-6=3\)
\(S_{GAB}=2S_{GEB}=2.\frac{EG.GB}{2}=4.6=24\) (cm vuông)
\(S_{AGC}=2S_{GDC}=2.\frac{GD.GC}{2}=3.8=24\) (cm vuông)
\(S_{GBC}=\frac{GB.GC}{2}=\frac{6.8}{2}=24\) (cm vuông)
\(\Rightarrow S_{ABC}=S_{GAB}+S_{GAC}+S_{GBC}=24+24+24=72\) (cm vuông)
