Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các đoạn thẳng BD = BA, BD vuông góc với BA và CE = CA, CE vuông góc với CA. Kẻ DH, EK vuông góc với đường thẳng BC (K, H thuộc BC). Chứng minh DH + EK = BC

Answer 1

Kẻ đường cao AF.

Vì BD \(\perp\) BA nên \(\widehat{DBA}\) = 90^o

Ta có: \(\widehat{DBH}\) + \(\widehat{DBA}\) + \(\widehat{ABF}\) = 180^o

=> \(\widehat{DBH}\) + \(\widehat{ABF}\) = 90^o (1)

Áp dụng tính chất tam giác vuông ta có:

\(\widehat{ABF}\) + \(\widehat{BAF}\) = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\widehat{DBH}\) + \(\widehat{ABF}\) = \(\widehat{ABF}\) + \(\widehat{BAF}\)

=> \(\widehat{DBH}\) = \(\widehat{BAF}\)

Xét \(\Delta\)BHD vuông tại H và \(\Delta\)AFB vuông tại F có:

BD = AB (gt)

\(\widehat{DBH}\) = \(\widehat{BAF}\) (c/m trên)

=> \(\Delta\)BHD = \(\Delta\)AFB (ch - gn)

=> DH = BF (2 cạnh t/ư) (3)

Chứng minh tương tự:

\(\Delta\)EKC = \(\Delta\)CFA (ch - gn)

=> EK = CF (2 cạnh t/ư) (4)

Ta có: BF + CF = BC (5)

Thay (3); (4) vào (5) ta được:

DH + EK = BC \(\rightarrow\) đpcm