a) Ta có: AB2+AC2=62+82=36+64=100
Mà BC2=102=100
\(\Rightarrow\) AB2+AC2=BC2
\(\Rightarrow\) tam giác ABC vuông tại A(Định lí py-ta-go đảo)
b) Ta có 2SABC=AB.AC=AH.BC
Hay 6.8=10.AH
\(\Rightarrow\) \(AH=\dfrac{6.8}{10}=\dfrac{48}{10}=4,8\left(cm\right)\)
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông BHA,ta được:
AB2=AH2+BH2
\(\Rightarrow\) BH2=AB2-AH2
hay BH2=62-4,82=36-23,04=12,96
\(\Rightarrow\) BH= \(\sqrt{12,96}\)=3,6(cm)
Ta có \(\widehat{BAC}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90o
\(\Rightarrow\) AMNH là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow\) MN=AH(vì MN,AH là đường chéo hình chữ nhật)
\(\Rightarrow\) MN=4,8(cm)
c)Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHC,ta được:
\(AH^2+HC^2=AC^2\)
\(\Rightarrow\) HC2=AC2-AH2=82-4,82= 64-23,04=40,96
\(\Rightarrow\) HC=\(\sqrt{40,96}=6,4\)(cm)
Ta có: 2SAHC=AH.HC=HN.AC
\(\Rightarrow\) \(HN=\dfrac{AH.HC}{AC}\)=\(\dfrac{4,8.6,4}{8}\)=\(\dfrac{96}{25}\)=3,84(cm)
Ta tiếp tục áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông AHN,ta được:
\(AH^2=AN^2+HN^2\)
\(\Rightarrow\) HN2=AH2-AN2=4,82-3,842=8,2944
\(\Rightarrow\) HN=\(\sqrt{8,2944}=2,88\)(cm)
Từ đó suy ra SMHNA=HN.AN=3,84.2,88=11,0592(cm2)
d) Gọi O là giao điểm của MN và AH
Ta có: MHNA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) MO=OA(vì hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(\Rightarrow\) tam giác MOA cân tại O
\(\Rightarrow\) \(\widehat{OMA}=\widehat{OAM}\)
Ta có \(\widehat{OAM}=\widehat{BCA}\)(cùng phụ \(\widehat{ABC}\))
\(\Rightarrow\) \(\widehat{OMA}=\widehat{BCA}\)
hay \(\widehat{AMN}=\widehat{BCA}\).
Chúc bạn học tốt.
