Ta có: \(BM=\dfrac{1}{2}BC\)(M là trung điểm của BC)
mà \(AB=\dfrac{1}{2}BC\)(gt)
nên BM=AB
Xét ΔENM và ΔANB có
EN=AN(gt)
\(\widehat{ENM}=\widehat{ANB}\)(hai góc đối đỉnh)
NM=NB(N là trung điểm của BM)
Do đó: ΔENM=ΔANB(c-g-c)
⇒EM=AB(hai cạnh tương ứng)
mà BM=AB(cmt)
nên EM=BM
hay \(EM=\dfrac{1}{2}BC\)
Xét ΔEBC có
EM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(M là trung điểm của BC)
\(EM=\dfrac{1}{2}BC\)(cmt)
Do đó: ΔEBC vuông tại E(Định lí)
⇒EB⊥EC
Xét ΔENB và ΔANM có
EN=AN(gt)
\(\widehat{ENB}=\widehat{ANM}\)(hai góc đối đỉnh)
BN=MN(N là trung điểm của BM)
Do đó: ΔENB=ΔANM(c-g-c)
⇒\(\widehat{BEN}=\widehat{MAN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BEN}\) và \(\widehat{MAN}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên EB//AM(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: EB⊥EC(cmt)
EB//AM(cmt)
Do đó: EC⊥AM(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: MC=MB(M là trung điểm của CB)
mà \(MB=2\cdot MN\)(N là trung điểm của MB)
nên \(MC=2\cdot MN\)
hay \(MN=\dfrac{1}{2}\cdot MC\)
Ta có: MN+MC=CN(M nằm giữa C và N)
hay \(\dfrac{1}{2}MC+MC=CN\)
\(\Leftrightarrow MC\cdot\dfrac{3}{2}=CN\)
\(\Leftrightarrow MC=\dfrac{2}{3}\cdot CN\)
Ta có: AN=EN(gt)
mà A,N,E thẳng hàng
nên N là trung điểm của AE
Xét ΔACE có
CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AE(N là trung điểm của AE)
\(MC=\dfrac{2}{3}\cdot CN\)(cmt)
M∈CN
Do đó: M là trọng tâm của ΔACE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒AM là đường trung tuyến ứng với cạnh CE
Xét ΔACE có
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh CE(cmt)
AM là đường cao ứng với cạnh CE(AM⊥CE)
Do đó: ΔACE cân tại A(Định lí tam giác cân)
