a) Xét ΔBAD và ΔEAD có
AB=AE(gt)
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)(AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), E∈AC)
AD là cạnh chung
Do đó: ΔBAD=ΔEBD(c-g-c)
⇒DB=DE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔDBE có DB=DE(cmt)
nên ΔDBE cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
b) Kẻ BH là tia đối của tia BA
⇔\(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{HBC}\) là hai góc kề bù
Xét ΔABC có \(\widehat{HBC}\) là góc ngoài tại đỉnh B của ΔABC(\(\widehat{HBC}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc kề bù)
nên \(\widehat{HBC}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\)(định lí góc ngoài của tam giác)
⇔\(\widehat{ACB}< \widehat{CBH}\)
hay \(\widehat{DCE}< \widehat{CBH}\)(1)
Ta có: ΔABD=ΔAED(cmt)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)
mà \(\widehat{ABD}+\widehat{DBH}=180^0\)(hai góc kề bù)
và \(\widehat{AED}+\widehat{CED}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{DBH}=\widehat{DEC}\)
hay \(\widehat{CBH}=\widehat{DEC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DCE}< \widehat{DEC}\)
Xét ΔDEC có \(\widehat{DCE}< \widehat{DEC}\)(cmt)
mà cạnh đối diện với \(\widehat{DCE}\) là DE
và cạnh đối diện với \(\widehat{DEC}\) là DC
nên DE<DC(định lí 2 về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
mà DE=DB(cmt)
nên DC>DB(đpcm)
