a) Ta có: ΔABC cân tại B(gt)
mà BH là đường cao ứng với cạnh đáy AC(do BH⊥AC)
nên BH cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(định lí tam giác cân)
⇒H là trung điểm của AC
⇒AH=CH
b)Ta có: H là trung điểm của AC(cmt)
⇒\(AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{18}{2}=9cm\)
hay AH=9cm
Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được
\(AB^2=BH^2+AH^2\)
hay \(BH^2=AB^2-AH^2=15^2-9^2=144\)
⇒\(BH=\sqrt{144}=12cm\)
c) Xét ΔADH vuông tại D và ΔHEC vuông tại E có
AH=HC(cmt)
\(\widehat{DAH}=\widehat{ECH}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại B)
Do đó: ΔADH=ΔHEC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DH=HE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔHDE có DH=HE(cmt)
nên ΔHDE cân tại H(đ/n tam giác cân)
d) Ta có: DH=HE(cmt)
⇒\(DH^2=HE^2\)(1)
Áp dụng định lí pytago vào ΔBEH vuông tại E, ta được
\(BH^2=BE^2+EH^2\)(2)
Thay (1) vào (2) ta được
\(BH^2=BE^2+DH^2\)(*)
Ta có: AH=HC(cmt)
⇒\(AH^2=HC^2\)(3)
Áp dụng định lí pytago vào ΔBHC vuông tại H, ta được
\(BC^2=BH^2+HC^2\)(4)
Thay (3) vào (4) ta được
\(BC^2=BH^2+AH^2\)
hay \(BH^2=BC^2-AH^2\)(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra \(BE^2+DH^2=BC^2-AH^2\)(đpcm)
