Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BE tại E cắt AC tại N.

a. CMR: tam giác MBD = tam giác NCE.

b. Cạnh BC cắt MN tại I. CMR: MI = IN.

c. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên đoạn BC.

P/S: Mk giải được câu a, b rùi. Các bn giúp mk câu c vs!!!

Answer 1

Câu c: Chứng minh:
Vẽ AH vuông góc với BC (H \(\in\)BC), ta có:
- Chứng minh ΔHAB = ΔHAC(cạnh huyền - góc nhọn)

=> \(\widehat{HAB}\) =\(\widehat{HAC}\)(2 góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường vuông góc với MN tại I, ta có:
- Chứng minh ΔABO=ΔACO (c.g.c)

=> \(\widehat{OBA}\)= \(\widehat{OCA}\) (2 góc tương ứng) (1)
- Chứng minh ΔOIM=ΔOIN(c.g.c)

=> OM = ON(2 cạnh tương ứng)
- Chứng minh ΔOBM=ΔOCN (c.c.c)

=> \(\widehat{MBO}=\widehat{NCO}\) (2 góc tương ứng) (2)
Lại có: N thuộc tia đối AC (gt) nên C thuộc đoạn AN
=> \(\widehat{ACO}\) + \(\widehat{OCN}\) = 180^o (2 góc kề bù) (3)
Từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{ACO}\) = \(\widehat{OCN}\) = 90^o
=> Điểm O cố định vì OB vuông góc với AB tại B và OC vuông góc với AC tại C (hay OB và OC duy nhất)
Vậy: Đường thằng vuông góc MN tại I cắt tại điểm O cố định khi D thay đổi trên BC