a) Vì góc B = góc C ( gt ) mà ABM = góc CBM ( gt ) ; góc ACN = góc BCN ( gt ) => góc ABM = góc ACN
Xét tam giác ANC và tam giác AMB ,có :
góc A : chung
AB = AC ( gt )
góc ACN = góc ABM ( chứng minh trên )
=> tam giác ANC = tam giác AMB ( g-c-g )
=> AN = AM ( hai cạnh tương ứng )
=> tam giác AMN cân tại A ( t/c tam giác cân )
Vây am giác AMN cân
Xét tam giác ANM cân tại A => góc ANM = góc AMN ( t/c tam giác cân )
=> góc A + góc ANM + góc AMN = 180o ( định lý ... )
=> góc ANM = góc AMN = 180o - góc A / 2 ( 1 )
Xét tam giác ABC câ tại A => góc B = góc C ( t/c t/g cân )
=> góc A + góc B + góc C = 180o ( định lý ... )
=> góc B = góc C = 180o - góc A / 2 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => góc ANM = góc B mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN // BC ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )
Vậy MN // BC
b)
a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ANC\) có:
AB=AC ( vì tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) : góc chung
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(gt)
=> \(\Delta AMB=\Delta ANC\left(g-c-g\right)\)
=> AM=AN(2 cạnh tương ứng)
=> tam giác AMN cân
Vì \(\Delta ABC\) cân
=> \(\widehat{B}=\widehat{C}=180^o-\widehat{A}\)
Vì \(\Delta AMN\) cân
=> \(\widehat{M}=\widehat{N}=180^o-\widehat{A}\)
=> \(\widehat{M}=\widehat{C}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> MN // BC
a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tam giác ABC cân tại A)
Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}=\widehat{BMC}\\\widehat{ACN}=\widehat{NCB}\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét \(\Delta AMB,\Delta ANC\) có:
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{A}:chung\)
=> \(\Delta AMB=\Delta ANC\left(g.c.g\right)\)
=> \(AN=AM\) (2 cạnh tương ứng)
Do đó, \(\Delta AMN\) cân tại A (đpcm)
Ta có : \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét tam giác cân ABC có :
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Do đó: \(MN//BC\left(đpcm\right)\)
b) Ta có ; \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\AN=AM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}BN=AB-AN\left(N\in AB\right)\\MC=AC=AM\left(M\in\right)AC\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(BN=MC\)
Xét \(\Delta NBC,\Delta MBC\) có :
\(BC:Chung\)
\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (tam giác ABC cân tại A)
\(NB=MC\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta NBC=\Delta MBC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\) (2 góc tương ứng)
=> \(\Delta EBC\) cân tại E
Mà thấy : I là trung điểm của BC
=> EI là trung tuyến trong tam giác EBC
=> E,I thẳng hàng (1)
Ta chứng minh \(\Delta ANE=\Delta AME\)
=> AE là tia phân giác của\(\widehat{A}\)
=> A, E thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) => A,I,E thẳng hàng (đpcm)
Bổ sung ý b)
b) Ta có ; {AB=AC(ΔABCcân)AN=AM(cmt){AB=AC(ΔABCcân)AN=AM(cmt)
lại có : {BN=AB−AN(N∈AB)MC=AC=AM(M∈)AC{BN=AB−AN(N∈AB)MC=AC=AM(M∈)AC
Suy ra : BN=MCBN=MC
Xét ΔNBC,ΔMBCΔNBC,ΔMBC có :
BC:ChungBC:Chung
NBCˆ=MCBˆNBC^=MCB^ (tam giác ABC cân tại A)
NB=MC(cmt)NB=MC(cmt)
=> ΔNBC=ΔMBC(c.g.c)ΔNBC=ΔMBC(c.g.c)
=> MBCˆ=NCBˆMBC^=NCB^ (2 góc tương ứng)
=> ΔEBCΔEBC cân tại E
Mà thấy : I là trung điểm của BC
=> EI là trung tuyến trong tam giác EBC
=> E,I thẳng hàng (1)
Ta chứng minh ΔANE=ΔAMEΔANE=ΔAME
=> AE là tia phân giác củaAˆA^
=> A, E thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) => A,I,E thẳng hàng (đpcm)
