a. \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{BAC}\\AE=AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.chung\)
\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)
b. \(\Delta ABC\) cân tại A nên:\(\widehat{ABC}=A\widehat{CB}\) (*)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)
Từ (*) ta suy ra \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(1)
Vì \(AD=AE\) nên \(\Delta ADE\) cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
Tương tự ta cũng có: \(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)
\(\Rightarrow DE\)// BC(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
c. Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\AD=AE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB-AD=AC-AE\)
\(\Rightarrow BD=CE\)
Vì \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (c/m câu a) nên
\(\Rightarrow180^0-\widehat{ADE}=180^0-\widehat{AED}\)
\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{CED}\) (3)
\(\Delta BED\) và \(\Delta CDE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\left(gt\right)\\\widehat{BDE}=\widehat{CED}\\DE\end{matrix}\right.\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta BED=\Delta CDE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\) (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{DEB}=\widehat{CDE}\) (2 góc tương ứng)(4)
Từ (3) và (4) ta suy ra: \(\widehat{BDE}-\widehat{CDE}=\widehat{CED}-\widehat{DEB}\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\)
\(\Delta OBD\) và \(\Delta OCE\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\\BD=CE\\\widehat{BDC}=\widehat{BEC}\end{matrix}\right.\)(đã c/m)
\(\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OCE\left(g.c.g\right)\)
a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\Delta ABCcân\right)\\AD=AE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}D\in AB\left(gt\right)\\E\in AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\\AC=AE+EC\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(BD=CE\)
Xét \(\Delta DBC;\Delta EBC\) có :
\(BD=CE\left(gt\right)\)
\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) (Tam giác ABC cân tại A)
\(BC:Chung\)
=> \(\Delta DBC=\Delta EBC\left(c.g.c\right)\)
=> \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta ADE\) cân tại A (AD = AE) có :
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
= >DE//BC (đpcm)
c) Xét \(\Delta OBD;\Delta OCE\) có :
\(\widehat{BDO}=\widehat{CEO}\) (do \(\Delta DBC=\Delta EBC\) - câu a)
\(BD=CE\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BDO}=\widehat{CEO}=\left(slt\right)\)
=> \(\Delta OBD=\Delta OCE \left(g.c.g\right)\)
