Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.
a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b) Gọi I là điểm đối xứng của B qua N. Tứ giác ABCI là hình gì? Vì sao?
c) Kẻ đường trung tuyến AH của tam giác ABC. Chứng minh tứ giác AMHN là hình thoi.
d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AH và cắt tia IA tại K. Chứng minh AKBH là hình chữ nhật.
e) Chứng minh AH, MN, KC đồng quy.
f) Tam giác ABC có thêm điều gì thì hình chữ nhật AKBH là hình vuông? Khi đó tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)
hay \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)
Xét tứ giác BMNC có MN//BC(cmt)
nên BMNC là hình thang(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang BMNC có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(cmt)
nên BMNC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét tứ giác ABCI có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo BI(B và I đối xứng nhau qua N)
Do đó: ABCI là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Xét ΔABC có
H là trung điểm của BC(AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: HM là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒HM//AC và \(HM=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(AN=CN=\frac{AC}{2}\)(N là trung điểm của AC)
nên HM=AN=CN
Xét tứ giác AMHN có MH//AN(MH//AC, N∈AC) và MH=AN(cmt)
nên AMHN là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AH là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(gt)
nên AH cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC(định lí tam giác cân)
⇒AH⊥BC
Ta có: MN//BC(cmt)
AH⊥BC(cmt)
Do đó: MN⊥AH(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét hình bình hành AMHN có MN⊥AH(cmt)
nên AMHN là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
d) Ta có: AI//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCI)
hay AK//BH(K∈AI, H∈BC)
Xét tứ giác AKBH có BK//AH(gt) và AK//BH(cmt)
nên AKBH là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AKBH có \(\widehat{AHB}=90^0\)(AH⊥BC)
nên AKBH là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
e) Ta có: AKBH là hình bình hành(cmt)
⇒AK=BH(hai cạnh đối trong hình bình hành AKBH)
mà BH=HC(H là trung điểm của BC)
nên AK=HC
Xét tứ giác AKHC có
AK//HC(AK//HB, C∈HB)
AK=HC(cmt)
Do đó: AKHC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo KC và AH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)(1)
Ta có: AMHN là hình thoi(cmt)
⇒Hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau(định lí hình thoi)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AH,MN,KC đồng quy
f) Để hình chữ nhật AKBH là hình vuông thì AH=BH
hay \(AH=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có:
AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
\(AH=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
Ta có: ΔABC vuông tại A(cmt)
⇒\(\widehat{BAC}=90^0\)
hay \(\widehat{MAN}=90^0\)
Hình thoi AMHN có \(\widehat{MAN}=90^0\)(cmt)
nên AMHN là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90^0\) thì hình chữ nhật AKBH trở thành hình vuông và tứ giác AMHN là hình vuông
