Xét ΔBAC có
BD là đường trung tuyến
CE là đường trung tuyến
BD cắt CE tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔBAC
=>AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
Ta có; ΔABC cân tại A
mà AG là đường trung tuyến
nên AG là đường cao
=>AG\(\perp\)BC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
D là trung điểm của AC
Do đó; ED là đường trung bình
=>ED//BC và ED=BC/2(1)
Xét ΔGBC có
M là trung điểm của GB
N là trung điểm của GC
Do đó: MN là đường trung bình
=>MN//BC và MN=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra ED//MN và ED=MN
hay EDNM là hình bình hành
Xét ΔABD và ΔACE có
AB=AC
góc BAD chung
AD=AE
Do đó:ΔABD=ΔACE
Suy ra: BD=CE
Ta có: G là trọng tâm của ΔABC
nên BG=2/3BD; CG=2/3BD
=>BG=CG
=>GD=GE
GM=GB/2(M là trung điểm của GB)
GN=GC/2(N là trung điểm của GC)
Do đó: GM=GN
GM+GD=DM
GN+GE=EN
mà GM=GN
và GD=GE
nên DM=EN
Hình bình hànhEDNM có DM=EN
nên EDNM là hình chữ nhật
hay EDNM là hình thang cân
