Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung tuyến. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
A) Chứng minh tứ giác BCED là hình thang cân.
B) gọi N là điểm đối xứng của M qua a Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật.
C) Chứng minh tứ giác AEMD là hình thoi.
D) kẻ ck vuông góc AB tại K chứng minh góc MKN bằng 90 độ
a)
Xét tam giác ABC có:
AD=DB( D là trung điểm AB)
AE=EC( e là trung điểm AC)
⇒DE là đường trung bình của tam giác ABC
Nên: DE // BC
Do đó: tg BCED là hình thang (1)
Mặt khác: ∠B=∠C (tam giác ABC cân tại A)(2)
Từ (1)(2)⇒ tứ giác BCED là hình thang cân
b)
Xét tứ giác AMNC có:
AE=EC( E là trung điểm AC)
ME=EN( M đối xứng vs N qa E)
⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành (3)
Ta lại có: AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AM còn là đường cao của tam giác ABC
hay: ∠AMC=900(4)
Từ (3)(4) ⇒ tứ giác AMCN là hình chữ nhật
c)
Xét tam giác ABC có:
AD=DB(D là tđiểm)
BM=MC M là đttuyến ứng với BC)
Do đó: DM là đttuyến của tam giác ABC
nên:DM//AE(E∈AC) (5)
và DM=1/2AC
mà AE=1/2AC(E là tđiểm AC)
⇒DM=AE(6)
Mặt khác: AM là đttuyến của tam giác ABC nên còn là đường phân giác của ∠A (7)
Từ (5)(6)(7)⇒tứ giác AEMD là hình thoi
d)
Gọi O là giao điểm của MN và CK
Ta có: EM là đường trung bình của tam giác ABC( AE=EC;BM=MC)
⇒EM//AB
mà CK⊥AB
nên CK⊥EM
Xét tam giác vuông KON có
∠KNO+∠NKO=900(2 góc phụ nhau)(8)
Tương tự: tam giác vuông MKO có:
∠MKO+∠KMO=900(9)
Cộng (8)(9) vế theo vế:
∠KNO+∠NKO+∠MKO+∠KMO=900+900
⇒∠KNO+∠KMO+∠MKN=1800
mà ∠KNO+∠KMO=900(tam giác vuông MKN)
⇔900+∠MKN=1800
Vây ∠MKN=900
a)
Xét tam giác ABC có:
AD=DB( D là trung điểm AB)
AE=EC( e là trung điểm AC)
⇒DE là đường trung bình của tam giác ABC
Nên: DE // BC
Do đó: tg BCED là hình thang (1)
Mặt khác: ∠B=∠C (tam giác ABC cân tại A)(2)
Từ (1)(2)⇒ tứ giác BCED là hình thang cân
b)
Xét tứ giác AMNC có:
AE=EC( E là trung điểm AC)
ME=EN( M đối xứng vs N qa E)
⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành (3)
Ta lại có: AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AM còn là đường cao của tam giác ABC
hay: ∠AMC=900(4)
Từ (3)(4) ⇒ tứ giác AMCN là hình chữ nhật
c)
Xét tam giác ABC có:
AD=DB(D là tđiểm)
BM=MC M là đttuyến ứng với BC)
Do đó: DM là đttuyến của tam giác ABC
nên:DM//AE(E∈AC) (5)
và DM=1/2AC
mà AE=1/2AC(E là tđiểm AC)
⇒DM=AE(6)
Mặt khác: AM là đttuyến của tam giác ABC nên còn là đường phân giác của ∠A (7)
Từ (5)(6)(7)⇒tứ giác AEMD là hình thoi
d)
Gọi O là giao điểm của MN và CK
Ta có: EM là đường trung bình của tam giác ABC( AE=EC;BM=MC)
⇒EM//AB
mà CK⊥AB
nên CK⊥EM
Xét tam giác vuông KON có
∠KNO+∠NKO=900(2 góc phụ nhau)(8)
Tương tự: tam giác vuông MKO có:
∠MKO+∠KMO=900(9)
Cộng (8)(9) vế theo vế:
∠KNO+∠NKO+∠MKO+∠KMO=900+900
⇒∠KNO+∠KMO+∠MKN=1800
mà ∠KNO+∠KMO=900(tam giác vuông MKN)
⇔900+∠MKN=1800
Vây ∠MKN=900
