Ôn tập Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Việt Anh

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Từ D kẻ DE⊥AB, DF⊥AC. Trên tia đối của DE lấy M sao cho: DE=DM. Chứng minh:

a) BE=CF b) AD là đường trung trực của EF.

c) Tam giác FEM là tam giác vuông. d) BE song song với CM.

Trúc Giang
13 tháng 8 2020 lúc 21:31

a) Tam giác ABC cân tại A có: AD là đường cao

=> AD là đường trung tuyến của tam giacs ABC

=> D là trung điểm của BC

=> BD = CD

Xét 2 tam giác vuông ΔEBD và ΔFCD ta có:

Cạnh huyền BD = CD (cmt)

\(\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\left(GT\right)\)

=> ΔEBD = ΔFCD (c.h - g.n)

=> BE = CF (2 cạnh tương ứng)

b/ Tam giác ABC cân tại A có: AD là đường cao

=> AD là phân giác của góc BAC

Hay: AD là phân giác của góc EAF

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE+BE=AB\\AF+CF=AC\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}BE=CF\left(cmt\right)\\AB=AC\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)

=> AE = AF

=> Tam giác AEF cân tại A

Lại có: AD là phân giác của góc EAF (cmt)

=> AD là trung trực của tam giác AEF

Hay: AD là trung trực của EF

c/ Có: AD là trung trực của EF (cmt)

=> AD ⊥ EF (3)

Có: ΔEBD = ΔFCD (cmt)

=> ED = DF (2 cạnh tương ứng)

Lại có: ED = DM (GT)

=> DM = DF

=> Tam giác DMF cân tại D (1)

Có: ΔEBD = ΔFCD (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{FDC}\) (2 góc tương ứng)

Mà: \(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\left(đối-đỉnh\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CDM}=\widehat{FDC}\)

=> DC là phân giác của góc FDM (2)

Từ (1) và (2) => DC là đường cao của ΔFDM

=> DC ⊥ FM

Hay: BC ⊥ FM

Lại có: AD ⊥ BC

=> FM // AD (4)

Từ (3) và (4) => FM ⊥ EF

Hay: \(\widehat{EFM}=90^0\)

=> Tam giác EFM vuông tại F

d/ Xét ΔEBD và ΔMCD ta có:

ED = MD (GT)

\(\widehat{EDB}=\widehat{CDM}\left(đối-đỉnh\right)\)

BD = CD (GT)

=> ΔEBD = ΔMCD (c - g - c)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{DMC}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này lai là 2 góc so le trong

=> BE // CM

︵✰Ah
13 tháng 8 2020 lúc 20:48

a) Vì ΔABC cân tại A => Bˆ=Cˆ

mà AD là đường cao

=> AD là đường trung tuyến ΔABC

=> BD = DC

Xét ΔBEDΔCFDcó:

BEDˆ=CFDˆ(900)

BD = DC (cmt)

Bˆ=Cˆ(cmt)(cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCFD(ch−gn)(ch−gn)

=> BE = CF (hai cạnh tương ứng)

b) Vì ΔBED=ΔCFD(cmt)

=> ED = DF (hai cạnh tương ứng)

=> ΔEDF cân tại D

=> D đường trung trực cạnh EF (1)

Xét ΔAEDΔAFD có:

AD (chung)

AEDˆ=AFDˆ(=900)

ED = DF (cmt)

Do đó: ΔAED=ΔAFD (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

=> AE = AF(hai cạnh tương ứng)

=> ΔAEF cân tại A
=> A đường trung trực cạnh EF (2)

(1); (2) => AD là đường trung trực cạnh EF

c) ta có: AD BC và AD⊥EF

=> BC // EF

Gọi giao điểm của FM và DC là H ta có:

Xét ΔBEDΔCMD có:

ED = DM (gt)

EDBˆ=CDMˆ(đối đỉnh)

BD = DC (cmt)

Do đó: ΔBED=ΔCMD (c-g-c)

ΔBED=ΔCFD

=> ΔCMD=ΔCFD

=> CF = CM (hai cạnh tương ứng)

=> ΔFCM cân tại C

=> C đường trung trực cạnh FM (1)

DE = DF (cmt)

mà DE = DM

=> DF = DM

=> ΔFDMΔFDM cân tại D

=> D đường trung trực cạnh FM (2)

(1); (2) => DC là đường trung trực cạnh FM

=> DH FM

mà BC // EF

=> EF FH

=> EFMˆ=900 hay ΔEFM vuông tại F

d) Vì ΔBED=ΔCMD

=> BEDˆ=CMDˆ=900(hai góc tương ứng)

=> BE//CM(so le trong)

Mấy cái 900 ý là nó bị lặp tức là 90 độleu

︵✰Ah
13 tháng 8 2020 lúc 20:51

3 dòng lạ lạ ở câu a )bỏ đi nha (cái này này)

t15=t23=t1−t25−3=32=1,5

⇒t1=1,5.5=7,5(h)

t2=1,5.3=4,5(h)


Các câu hỏi tương tự
Mỹ Duyên
Xem chi tiết
Cao Anh Kiệt
Xem chi tiết
Lê Thị thoa Lê
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Linh
Xem chi tiết
Duetbruhdarklmao
Xem chi tiết
hoàng khánh linh
Xem chi tiết
van Tran
Xem chi tiết
Lê Thị Lanh
Xem chi tiết
Nhi Phan Yến
Xem chi tiết