\(\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y-1}+y^2\left(x,y\ge1\right)\)
Với x>y=>\(\sqrt{x-1}>\sqrt{y-1};x^2>y^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-1}+x^2>\sqrt{y-1}+y^2\)(1)
Với x<y\(\Rightarrow\sqrt{x-1}< \sqrt{y-1};x^2< y^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-1}+x^2< \sqrt{y-1}+y^2\)(2)
Từ (1),(2)=>x=y
Cho x,y,z>1 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2\)
Chứng minh \(\sqrt{x+y+z}\ge\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\)
Cho x,y thỏa mãn x,y thuộc R và 0\(\le x,y\le\dfrac{1}{2}\) chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}\le\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z =xyz. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
cho x,y,z>0 chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn \(x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\)
Chứng minh: \(\dfrac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
Cho biểu thức Y=\(\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+1-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
a. Rút gọn biểu thức Y. Tìm giá trị nhỏ nhất của Y
b. cho x>1. Chứng minh rằng Y-|Y|=0
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh:
\(\sqrt{x\left(1-x\right)}+\sqrt{y\left(1-y\right)}+\sqrt{z\left(1-z\right)}\le\sqrt{2}\)
Với mọi x, y, z >= 0 . Chứng minh rằng
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Chứng minh:\(\sqrt{X^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}>=\frac{3}{2}\sqrt{17}\)
