Question

cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)ⁿ≥1+nx với mọi số nguyên dương n

Answer 1

Lời giải:

Dùng quy nạp:

-Với $n=1$ thì $(1+x)^n=1+x=1+nx$

-Với $n=2$ : có $(1+x)^2=1+2x+x^2\geq 1+2x$ do $x^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

.......................................

-Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, ta cần CM $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$

Ta có \((1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x)^k\geq (1+x)(1+kx)=1+kx+x+kx^2\geq 1+kx+x=1+(k+1)x\) Do đó ta có đpcm