Cho pt:
\(x^2-\left(2k-1\right)x-4k-3=0\)
a) Cmr pt luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi \(x_1\), \(x_2\) là nghiệm của pt \(x_1\), tìm hệ thức giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào k
c) Tìm k để biểu thức P = \(x^2_1\) + \(x^2_2\) đạt GTNN
mọi người ơi giúp mình làm bài này với ạ, mình đang cần rất gấp
\(\Delta=\left(2k-1\right)^2+4\left(4k+3\right)=4k^2+12k+13=4\left(k+\frac{3}{2}\right)^2+4>0\) \(\forall k\)
\(\Rightarrow\) pt luôn luôn có nghiệm
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2k-1\\x_1x_2=-4k-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\frac{x_1+x_2+1}{2}\\k=\frac{-3-x_1x_2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{x_1+x_2+1}{2}=\frac{-3-x_1x_2}{4}\)
Đây là biểu thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc k (bạn có thể rút gọn thêm)
c/ \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(P=\left(2k-1\right)^2+2\left(4k+3\right)=4k^2+4k+7\)
\(P=\left(2k+1\right)^2+6\ge6\)
\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(k=-\frac{1}{2}\)
